Тензор электромагнитного поля

Тензор электромагнитного поля — это антисимметричный дважды ковариантный тензор, являющийся обобщением напряжённости электрического и индукции магнитного поля для произвольных преобразований координат. Он используется для инвариантной формулировки уравнений электродинамики, в частности, с его помощью можно легко обобщить электродинамику на случай наличия гравитационного поля.

Определение

Тензор электромагнитного поля определяется через 4-потенциал по формуле

[math]\displaystyle{ \mathrm{F}_{\mu \nu} = \frac{\partial A_\nu}{\partial x^\mu} - \frac{\partial A_\mu}{\partial x^\nu}. }[/math]

Хотя он выражается через обычные производные, а не ковариантные, он является тензором относительно произвольных преобразований координат. Это следует из того, что то же выражение можно записать через ковариантные производные:

[math]\displaystyle{ \mathrm{F}_{\mu \nu} = \frac{\partial A_\nu}{\partial x^\mu} - \frac{\partial A_\mu}{\partial x^\nu} = \nabla_\mu A_\nu - \nabla_\nu A_\mu. }[/math]

Если рассматривать 4-потенциал как 1-форму на пространстве-времени, то тензор электромагнитного поля выражается как внешняя производная

[math]\displaystyle{ F = \mathbf d A. }[/math]

Отсюда также очевидна его инвариантность.

Свойства

• [math]\displaystyle{ F_{\mu \nu} }[/math] — антисимметричный тензор 2-го ранга, имеет 6 независимых компонент.
• Преобразования координат сохраняют два инварианта, следующих из тензорных свойств поля:

[math]\displaystyle{ \ F^{\mu \nu} F_{\mu \nu} = 2(B^2 - E^2) = \text{inv}, }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{1}{2}\varepsilon^{\mu \nu \sigma \rho}F_{\mu \nu}F_{\sigma \rho} = -4 \left( \mathbf E \cdot \mathbf B \right) = \text{inv}. }[/math]

Выражение для компонент

Ковариантные компоненты тензора электромагнитного поля имеют вид

[math]\displaystyle{ F_{\mu \nu} = \begin{pmatrix} 0 & E_x & E_y & E_z \\ -E_x & 0 & -B_z & B_y \\ -E_y & B_z & 0 & -B_x \\ -E_z & -B_y & B_x & 0 \end{pmatrix}. }[/math]

Такая зависимость антисимметричного тензора от двух векторов условно записывается как

[math]\displaystyle{ F_{\mu \nu} = (\mathbf E, \mathbf B). }[/math]

Контравариантные компоненты (в пространстве с метрикой Минковского) имеют вид

[math]\displaystyle{ F^{\mu \nu} = \begin{pmatrix} 0 & -E_x & -E_y & -E_z \\ E_x & 0 & -B_z & B_y \\ E_y & B_z & 0 & -B_x \\ E_z & -B_y & B_x & 0 \end{pmatrix}, }[/math]

что обозначается как

[math]\displaystyle{ F^{\mu \nu} = (-\mathbf E, \mathbf B). }[/math]

Таким образом, оказывается, что векторы электрического и магнитного полей преобразуются в общем случае линейных преобразований не как векторы, а как компоненты тензора типа (0, 2). Закон их преобразований при переходе в систему отсчёта, движущуюся со скоростью V вдоль оси X, имеет вид

[math]\displaystyle{ \begin{align} E_x &= E_x', & E_y &= \frac{E_y' + \frac{V}{c} B_z'}{\sqrt{1 - \frac{V^2}{c^2}}}, & E_z &= \frac{E_z' - \frac{V}{c} B_y'}{\sqrt{1 - \frac{V^2}{c^2}}}, \\ B_x &= B_x', & B_y &= \frac{B_y' - \frac{V}{c} E_z'}{\sqrt{1 - \frac{V^2}{c^2}}}, & B_z &= \frac{B_z' + \frac{V}{c} E_y'}{\sqrt{1 - \frac{V^2}{c^2}}}. \end{align} }[/math]

Применение

Непосредственно из определения следует, что

[math]\displaystyle{ \mathbf d F = 0. }[/math]

В компонентах это выражение принимает вид

[math]\displaystyle{ \varepsilon_{\mu \rho \nu \sigma}\frac{\partial F_{\mu \rho}}{\partial x^\nu} = \frac{\partial F_{\mu \rho}}{\partial x^\nu} + \frac{\partial F_{\rho \nu}}{\partial x^\mu} + \frac{\partial F_{\nu \mu}}{\partial x^\rho} = 0, }[/math]

где [math]\displaystyle{ \varepsilon_{\mu \rho \nu \sigma} }[/math] — символ Леви-Чивиты для 4-мерного пространства. Если расписать это выражение через компоненты векторов электрического и магнитного поля, то оно совпадёт с первой парой уравнений Максвелла:

[math]\displaystyle{ \operatorname{div}\mathbf B = 0, }[/math]

[math]\displaystyle{ \operatorname{rot}\mathbf E = -\frac{1}{c} \frac{\partial \mathbf B}{\partial t}. }[/math]

Вторая пара уравнений Максвелла выражается через тензор электромагнитного поля как

[math]\displaystyle{ \nabla_\nu F^{\mu \nu} = - \frac{4\pi}{c} j^\mu, }[/math]

где [math]\displaystyle{ j^\mu }[/math] — вектор 4-тока.

Также можно записать их через звёздочку Ходжа:

[math]\displaystyle{ d * F = \frac{4\pi}{c} J. }[/math]

Сила Лоренца выражается через вектор 4-скорости частицы и заряд по формуле

[math]\displaystyle{ \mathcal{F}^\nu = qF^{\mu \nu} u_\mu. }[/math]

См. также

• Электромагнитный тензор энергии-импульса

Литература

• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — 512 с. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7.